Главная » Уроки по Численным методам » Урок 15. Решение СЛУ методом Крамера и методом Гаусса, матричным методом.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Урок 15. Решение СЛУ методом Крамера и методом Гаусса, матричным методом.

Уровень 1

Задание 1: Решить систему уравнений матричным способом

Ход решения:

1. Сначала надо записать систему в матричном виде и ввести ее на лист Excel:

 

. Здесь ,

2. Затем надо найти обратную матрицу для матрицы А.

3. Далее полученную матрицу нужно умножить на матрицу В.

4. В результате получим ответ:

Уровень 2

Задание 2.  Решить СЛУ с помощью формул Крамера в Excel

Ход решения

1. Запишем уравнение в матричном виде:

  

2. Введите матрицу А и В в Excel.

3. Найдите определитель матрицы А. Он должен получится равным 30.

4. Определитель системы отличен от нуля, следовательно - решение однозначно определяется по формулам Крамера.

5. Заполните значения dX, dY, dZ на листе Excel (см.рис.ниже).  

6. Для вычисления значений dX, dY, dZ в ячейки F8, F12, F16 необходимо ввести функцию, вычисляющую определитель dX, dY, dZ соответственно.

7. Для вычисления значения X в ячейку I8 необходимо ввести формулу =F8/B5 (по формуле Крамера dX/|A|).

8. Самостоятельно введите формулы для вычисления Y и Z.

 

Задание 3.

Решение СЛУ методом Гаусса в Excel:
В тексте будет предлагаться ввести в диапазон ячеек формулу вида: {=A1:B3+$C$2:$C$3} и т.п., это так-называемые «формулы массива». Microsoft Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки ( { } ). Для введения такого типа формул необходимо выделить весь диапазон, куда нужно вставить формулу, в первой ячейке ввести формулу без фигурных скобок (для примера выше – =A1:B3+$C$2:$C$3) и нажать Ctrl+Shift+Enter.
Пускай имеем систему линейных уравнений:

1. Запишем коэффициенты системы уравнений в ячейки A1:D4 а столбец свободных членов в ячейки E1:E4. Если в ячейке A1 находится 0, необходимо поменять строки местами так, чтоб в этой ячейке было отличное от ноля значение. Для большей наглядности можно добавить заливку ячеек, в которых находятся свободные члены.

2. Необходимо коэффициент при x1 во всех уравнениях кроме первого привести к 0. Для начала сделаем это для второго уравнения. Скопируем первую строку в ячейки A6:E6 без изменений, в ячейки A7:E7 необходимо ввести формулу: {=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)}. Таким образом мы от второй строки отнимаем первую, умноженную на A2/$A$1, т.е. отношение первых коэффициентов второго и первого уравнения. Для удобства заполнения строк 8 и 9 ссылки на ячейки первой строки необходимо использовать абсолютные (используем символ $).

3. Копируем введенную формулу формулу в строки 8 и 9, таким образом избавляемся от коэффициентов перед x1 во всех уравнениях кроме первого.

4. Теперь приведем коэффициенты перед x2 в третьем и четвертом уравнении к 0. Для этого скопируем полученные 6-ю и 7-ю строки (только значения) в строки 11 и 12, а в ячейки A13:E13 введем формулу {=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)}, которую затем скопируем в ячейки A14:E14. Таким образом реализуется разность строк 8 и 7, умноженных на коэффициент B8/$B$7. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

5. Осталось привести коэффициент при x3 в четвертом уравнении к 0, для этого вновь проделаем аналогичные действия: скопируем полученные 11, 12 и 13-ю строки (только значения) в строки 16-18, а в ячейки A19:E19 введем формулу {=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)}. Таким образом реализуется разность строк 14 и 13, умноженных на коэффициент C14/$C$13. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

6. Прямая прогонка методом Гаусса завершена. Обратную прогонку начнем с последней строки полученной матрицы. Необходимо все элементы последней строки разделить на коэффициент при x4. Для этого в строку 24 введем формулу {=A19:E19/D19}.

7. Приведем все строки к подобному виду, для этого заполним строки 23, 22, 21 следующими формулами:

23: {=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18} – отнимаем от третьей строки четвертую умноженную на коэффициент при x4 третьей строки.

22: {=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17} – от второй строки отнимаем третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.

21: {=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16} – от первой строки отнимаем вторую, третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.

Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках E21:E24.

Уровень 3

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. Решить систему уравнений методом Крамера.
2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

 

Составитель: Салий Н.А.