Главная » Уроки по Численным методам » Урок 14. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ с помощью матричных уравнений

ЛЕКЦИЯ

Урок 14. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ с помощью матричных уравнений

Система линейных уравнений:

(1)

Здесь и (i =1..m, j=1..n) - заданные, а - неизвестные действительные числа.
Матричной записью системы линейных уравнений называется выражение вида:
=, или кратко: = (2),
где:

=	=	=
матрица системы	столбец неизвестных	столбец свободных членов

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) называется решением системы(1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC = B.

СЛУ называется совместной, или разрешимой, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.
Матрица
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

Далее умножим вторую строку на -2 и сложим с третьей, а затем сложим третью строку с последней. Имеем
.
Ранг матрицы системы =3, так как матрица имеет три ненулевых строки,
а ранг расширенной матрицы =4.
Тогда согласно теореме Кронекера-Капелли система не имеет решений.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:
a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, (3)
... ... ... ... ... ...
an1 x1 + an1 x2 +... + ann xn = bn.

Системы (3) решаются одним из следующих способов:
1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным методом.

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A=0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (3) совпадает с вектором . Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.